что такое базисный минор

Ранг матрицы и базисный минор матрицы

Пример 3.4. Записать миноры разных порядков матрицы

Пример 3.5. Найти все базисные миноры и ранг матрицы

Решение. Все миноры третьего порядка данной матрицы равны нулю, так как у этих определителей третья строка нулевая. Поэтому базисным может быть только минор второго порядка, расположенный в первых двух строках матрицы. Перебирая 6 возможных миноров, отбираем отличные от нуля

Каждый из этих пяти миноров является базисным. Следовательно, ранг матрицы равен 2.

1. Если в матрице все миноры k-го порядка равны нулю, то равны нулю и миноры более высокого порядка. Действительно, раскладывая минор (k+1)-ro порядка по любой строке, получаем сумму произведений элементов этой строки на миноры k-го порядка, а они равны нулю.

2. Ранг матрицы равен наибольшему порядку отличного от нуля минора этой матрицы.

3. Если квадратная матрица невырожденная, то ее ранг равен ее порядку. Если квадратная матрица вырожденная, то ее ранг меньше ее порядка.

Теоремы о базисном миноре и о ранге матрицы

Рассмотрим основные теоремы, выражающие свойства линейной зависимости и линейной независимости столбцов (строк) матрицы.

Действительно, без ограничения общности предполагаем, что в матрице размеров базисный минор расположен в первых строках и первых столбцах. Рассмотрим определитель

Теорема о базисном миноре служит для доказательства следующих важных теорем.

Условие равенства нулю определителя

Теорема 3.2 (необходимое и достаточное условие равенства нулю определителя). Для того чтобы определитель был равен нулю необходимо и достаточно, чтобы один из его столбцов <одна из его строк) был линейной комбинацией остальных столбцов (строк).

Инвариантность ранга матрицы при элементарных преобразованиях

Теорема 3.3 (об инвариантности ранга при элементарных преобразованиях). При элементарных преобразованиях столбцов (строк) матрицы ее ранг не меняется.

Следствие 1. Если одна строка (столбец) матрицы является линейной комбинацией других ее строк (столбцов), то эту строку (столбец) можно вычеркнуть из матрицы, не изменив при этом ее ранга.

Действительно, такую строку при помощи элементарных преобразований можно сделать нулевой, а нулевая строка не может входить в базисный минор.

Следствие 2. Если матрица приведена к простейшему виду (1.7), то

Действительно, матрица простейшего вида (1.7) имеет базисный минор r-го порядка.

Следствие 3. Любая невырожденная квадратная матрица является элементарной, другими словами, любая невырожденная квадратная матрица эквивалентна единичной матрице того же порядка.

Теорема 3.4 (о ранге матрицы). Ранг матрицы равен максимальному числу линейно независимых строк этой матрицы.

Следствие 1. Максимальное число линейно независимых строк в матрице равно максимальному числу линейно независимых столбцов:

Это утверждение вытекает из теоремы 3.4, если ее применить к строкам транспонированной матрицы и учесть, что при транспонировании миноры не изменяются (свойство 1 определителя).

Следствие 2. При элементарных преобразованиях строк матрицы линейная зависимость (или линейная независимость) любой системы столбцов этой матрицы сохраняется.

1. В силу следствия 1 теоремы 3.4 свойство столбцов, указанное в следствии 2, справедливо и для любой системы строк матрицы, если элементарные преобразования выполняются только над ее столбцами.

2. Следствие 3 теоремы 3.3 можно уточнить следующим образом: любую невырожденную квадратную матрицу, используя элементарные преобразования только ее строк (либо только ее столбцов), можно привести к единичной матрице того же порядка.

Ранге произведения и суммы матриц

Теорема 3.5 (о ранге произведения матриц). Ранг произведения матриц не превышает ранга множителей:

Теорема 3.6 о ранге суммы матриц. Ранг суммы матриц не превышает суммы рангов слагаемых:

Источник

Теорема о базисном миноре матрицы

В данной публикации мы рассмотрим теорему о базисном миноре (формулировка и следствия). Также разберем пример задачи для демонстрации ее применения на практике.

Формулировка теоремы

В произвольной матрице A столбцы/строки, входящие в состав базисного минора M (называются “базисными”), линейно независимы. Каждый столбец/строка матрицы является линейной комбинацией базисных столбцов/строк.

Из теорему о базисном миноре следует:

Пример задачи

Давайте найдем всем базисные миноры матрицы A, представленной ниже, а также определим ее ранг.

Решение:

1. Выполним элементарные преобразования над матрицей, чтобы упростить ее. Для начала разделим третью строку на 2 и переставим ее с первой местами.

2. Отнимем из третьей строки первую.

3. Получаем матрицу с нулевой строкой, что означает, что все миноры третьего порядка равняются нулю.

4. Таким образом, базисными в нашем случае могут быть только ненулевые миноры второго порядка, состоящие из первой и второй строк полученной матрицы.

Источник

Нахождение ранга матрицы

В данной статье пойдет речь о таком понятии, как ранг матрицы и необходимых дополнительных понятиях. Мы приведем примеры и доказательства нахождения ранга матрицы, а также расскажем, что такое минор матрицы, и почему он так важен.

Минор матрицы

Чтобы понять, что такое ранг матрицы, необходимо разобраться с таким понятием, как минор матрицы.

Минор k-ого порядка матрицы — определитель квадратной матрицы порядка k×k, которая составлена из элементов матрицы А, находящихся в заранее выбранных k-строках и k-столбцах, при этом сохраняется положение элементов матрицы А.

Проще говоря, если в матрице А вычеркнуть (p-k) строк и (n-k) столбцов, а из тех элементов, которые остались, составить матрицу, сохраняя расположение элементов матрицы А, то определитель полученной матрицы и есть минор порядка k матрицы А.

Из примера следует, что миноры первого порядка матрицы А и есть сами элементы матрицы.

Можно привести несколько примеров миноров 2-ого порядка. Выберем две строки и два столбца. Например, 1-ая и 2 –ая строка, 3-ий и 4-ый столбец.

Другим минором 2-го порядка матрицы А является 0 0 1 1 = 0

Предоставим иллюстрации построения миноров второго порядка матрицы А:

Минор 3-го порядка получается, если вычеркнуть третий столбец матрицы А:

Иллюстрация, как получается минор 3-го порядка матрицы А:

Для данной матрицы миноров выше 3-го порядка не существует, потому что

Сколько существует миноров k-ого порядка для матрицы А порядка p×n?

Число миноров вычисляют по следующей формуле:

После того, как мы определились, что такое миноры матрицы А, можно переходить к определению ранга матрицы А.

Ранг матрицы: методы нахождения

Ранг матрицы — наивысший порядок матрицы, отличный от нуля.

Из определения ранга матрицы и минора матрицы становиться понятно, что ранг нулевой матрицы равен нулю, а ранг ненулевой матрицы отличен от нуля.

Нахождение ранга матрицы по определению

Метод перебора миноров — метод, основанный на определении ранга матрицы.

Алгоритм действий способом перебора миноров:

Необходимо найти ранг матрицы А порядка p×n. При наличии хотя бы одного элемента, отличного от нуля, то ранг матрицы как минимум равен единице (т.к. есть минор 1-го порядка, который не равен нулю).

Далее следует перебор миноров 2-го порядка. Если все миноры 2-го порядка равны нулю, то ранг равен единице. При существовании хотя бы одного не равного нулю минора 2-го порядка, необходимо перейти к перебору миноров 3-го порядка, а ранг матрицы, в таком случае, будет равен минимум двум.

Аналогичным образом поступим с рангом 3-го порядка: если все миноры матрицы равняются нулю, то ранг будет равен двум. При наличии хотя бы одного ненулевого минора 3-го порядка, то ранг матрицы равен минимум трем. И так далее, по аналогии.

Найти ранг матрицы:

Поскольку матрица ненулевая, то ее ранг минимум равен единице.

Миноры 3-го порядка равны нулю, поэтому ранг матрицы равен двум.

Нахождение ранга матрицы методом окаймляющих миноров

Метод окаймляющих миноров — метод, который позволяет получить результат при меньшей вычислительной работе.

Найти ранг матрицы:

Записываем все окаймляющие миноры:

Чтобы обосновать метод окаймляющих миноров, приведем теорему, формулировка которой не требует доказательной базы.

Если все миноры, окаймляющие минор k-ого порядка матрицы А порядка p на n, равны нулю, то все миноры порядка (k+1) матрицы А равна нулю.

Чтобы найти ранг матрицы, необязательно перебирать все миноры, достаточно посмотреть на окаймляющие.

Если окаймляющие миноры равняются нулю, то ранг матрицы нулевой. Если существует хотя бы один минор, который не равен нулю, то рассматриваем окаймляющие миноры.

Если все они равны нулю, то Rank(A) равняется двум. При наличии хотя бы одного ненулевого окаймляющего минора, то приступаем к рассматриванию его окаймляющих миноров. И так далее, аналогичным образом.

Найти ранг матрицы методом окаймляющих миноров

Поскольку элемент а 11 матрицы А не равен нулю, то возьмем минор 1-го порядка. Начнем искать окаймляющий минор, отличный от нуля:

Нахождение ранга матрицы методом Гаусса (с помощью элементарных преобразований)

Вспомним, что представляют собой элементарные преобразования.

путем прибавления к элементам какой-либо строки (столбца) элементов, которые соответствуют другой стоки (столбца) матрицы, которые умножены на произвольное число k.

Нахождение ранга матрицы методом Гаусса — метод, который основывается на теории эквивалентности матриц: если матрица В получена из матрицы А при помощи конечного числа элементарных преобразований, то Rank(A) = Rank(B).

Справедливость данного утверждения следует из определения матрицы:

в случае прибавления к элементам некоторой строки или столбца матрицы соответствующих элементов другой строки или столбца, которые умножены на число k, не изменяет ее определителя.

Ранг матриц такого вида достаточно просто найти. Он равен количеству строк, в которых есть хотя бы один ненулевой элемент. А поскольку ранг при проведении элементарных преобразований не изменяется, то это и будет ранг матрицы.

Проиллюстрируем этот процесс:

1 b 12 b 13 ⋯ b 1 k b 1 k + 1 ⋯ b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 k b 2 k + 1 ⋯ b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 b k k + 1 ⋯ b k n 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0

Найти ранг матрицы А при помощи элементарных преобразований:

Поскольку элемент а 11 отличен от нуля, то необходимо умножить элементы первой строки матрицы А на 1 а 11 = 1 2 :

Прибавляем к элементам 2-ой строки соответствующие элементы 1-ой строки, которые умножены на (-3). К элементам 3-ей строки прибавляем элементы 1-ой строки, которые умножены на (-1):

Если проводить элементарные преобразования, то не допускаются приближенные значения!

Источник

Как найти ранг матрицы?

Знание ранга матрицы повысит ваш ранг =)

На сегодняшнем уроке мы познакомимся с понятием ранга алгебраической матрицы, научимся находить ранг матрицы методом окаймляющих миноров и методом Гаусса, а также рассмотрим важное практическое приложение темы: исследование системы линейных уравнений на совместность.

Что такое ранг матрицы?

В юмористическом эпиграфе статьи содержится большая доля истины. Само слово «ранг» у нас обычно ассоциируется с некоторой иерархией, чаще всего, со служебной лестницей. Чем больше у человека знаний, опыта, способностей, блата и т.д. – тем выше его должность и спектр возможностей. Выражаясь по молодёжному, под рангом подразумевают общую степень «крутизны».

И братья наши математические живут по тем же принципам. Выведем на прогулку несколько произвольных нулевых матриц:

Задумаемся, если в матрице одни нули, то о каком ранге может идти речь? Всем знакомо неформальное выражение «полный ноль». В обществе матриц всё точно так же:

Ранг нулевой матрицы любых размеров равен нулю.

Примечание: нулевая матрица обозначается греческой буквой «тета»

В целях лучшего понимания ранга матрицы здесь и далее я буду привлекать на помощь материалы аналитической геометрии. Рассмотрим нулевой вектор нашего трёхмерного пространства, который не задаёт определённого направления и бесполезен для построения аффинного базиса. С алгебраической точки зрения координаты данного вектора записаны в матрицу «один на три» и логично (в указанном геометрическом смысле) считать, что ранг этой матрицы равен нулю.

Теперь рассмотрим несколько ненулевых векторов-столбцов и векторов-строк:

В каждом экземпляре есть хотя бы один ненулевой элемент, и это уже кое-что!

Ранг любого ненулевого вектора-строки (вектора-столбца) равен единице

И вообще – если в матрице произвольных размеров есть хотя бы один ненулевой элемент, то её ранг не меньше единицы.

Алгебраические векторы-строки и векторы-столбцы в известной степени абстрактны, поэтому снова обратимся к геометрической ассоциации. Ненулевой вектор задаёт вполне определённое направление в пространстве и годится для построения базиса, поэтому ранг матрицы будем считать равным единице.

Теоретическая справка: в линейной алгебре вектор – это элемент векторного пространства (определяемое через 8 аксиом), который, в частности, может представлять собой упорядоченную строку (или столбец) действительных чисел с определёнными для них операциями сложения и умножения на действительное число. С более подробной информацией о векторах можно ознакомиться в статье Линейные преобразования.

Рассмотрим матрицу , строки которой линейно зависимы (выражаются друг через друга). С геометрической точки зрения во вторую строку записаны координаты коллинеарного вектора , который ничуть не продвинул дело в построении трёхмерного базиса, являясь в этом смысле лишним. Таким образом, ранг данной матрицы тоже равен единице.

Перепишем координаты векторов в столбцы (транспонируем матрицу):

Что изменилось с точки зрения ранга? Ничего. Столбцы пропорциональны, значит, ранг равен единице. Кстати, обратите внимание, что все три строки тоже пропорциональны. Их можно отождествить с координатами трёх коллинеарных векторов плоскости, из которых только один полезен для построения «плоского» базиса. И это полностью согласуется с нашим геометрическим смыслом ранга.

Из вышеприведённого примера следует важное утверждение:

Ранг матрицы по строкам равен рангу матрицы по столбцам. Об этом я уже немного упоминал на уроке об эффективных методах вычисления определителя.

Примечание: из линейной зависимости строк следует линейная зависимость столбцов (и наоборот). Но в целях экономии времени, да и в силу привычки я почти всегда буду говорить о линейной зависимости строк.

Продолжим дрессировать нашего любимого питомца. Добавим в матрицу третьей строкой координаты ещё одного коллинеарного вектора :

Помог ли он нам в построении трёхмерного базиса? Конечно, нет. Все три вектора гуляют туда-сюда по одной дорожке, и ранг матрицы равен единице. Можно взять сколько угодно коллинеарных векторов, скажем, 100, уложить их координаты в матрицу «сто на три» и ранг такого небоскрёба всё равно останется единичным.

Познакомимся с матрицей , строки которой линейно независимы. Пара неколлинеарных векторов пригодна для построения трёхмерного базиса. Ранг этой матрицы равен двум.

А чему равен ранг матрицы ? Строки вроде не пропорциональны…, значит, по идее трём. Однако ранг этой матрицы тоже равен двум. Я сложил первые две строки и записал результат внизу, то есть линейно выразил третью строку через первые две. Геометрически строки матрицы соответствуют координатам трёх компланарных векторов, причём среди этой тройки существует пара неколлинеарных товарищей.

Как видите, линейная зависимость в рассмотренной матрице не очевидна, и сегодня мы как раз научимся выводить её «на чистую воду».

Думаю, многие догадываются, что такое ранг матрицы!

Рассмотрим матрицу , строки которой линейно независимы. Векторы образуют аффинный базис, и ранг данной матрицы равняется трём.

Как вы знаете, любой четвёртый, пятый, десятый вектор трёхмерного пространства будет линейно выражаться через базисные векторы. Поэтому, если в матрицу добавить любое количество строк, то её ранг всё равно будет равен трём.

Аналогичные рассуждения можно провести для матриц бОльших размеров (понятно, уже без геометрического смысла).

Определение: ранг матрицы – это максимальное количество линейно независимых строк. Или: ранг матрицы – это максимальное количество линейно независимых столбцов. Да, их количество всегда совпадает.

Из вышесказанного также следует важный практический ориентир: ранг матрицы не превосходит её минимальной размерности. Например, в матрице четыре строки и пять столбцов. Минимальная размерность – четыре, следовательно, ранг данной матрицы заведомо не превзойдёт 4.

Обозначения: в мировой теории и практике не существует общепринятого стандарта для обозначения ранга матрицы, наиболее часто можно встретить: – как говорится, англичанин пишет одно, немец другое. Поэтому давайте по мотивам известного анекдота про американский и русский ад обозначать ранг матрицы родным словом. Например: . А если матрица «безымянная», коих встречается очень много, то можно просто записать .

Как найти ранг матрицы с помощью миноров?

На уроках о вычислении определителя и нахождении обратной матрицы нам уже встречались миноры второго порядка, получаемые вычёркиванием строк и столбцов в матрице «три на три». Сейчас мы расширим понятие минора и дадим его определение… да не вздыхайте так тяжко, тут с картинками =)

Минором прямоугольной матрицы называется определитель, составленный из чисел, которые находятся на пересечении различных строк и различных столбцов матрицы. Число называют порядком минора.

Заметьте, что сама матрица не обязана быть квадратной. Рассмотрим конкретный пример:

Как получить какой-нибудь минор 2-го порядка? Нужно выбрать две произвольные строки, например, 2-ю и 4-ю, два произвольных столбца, например, 3-й и 5-й, и числа, находящиеся на их пересечении записать в минор второго порядка: . Сколько всего миноров 2-го порядка? Много. Существуют специальные комбинаторные формулы для подсчёта количества миноров, но в рамках данного занятия это малополезная информация.

Получим какой-нибудь минор третьего порядка. Рассматриваем три произвольные строки, например, 1-ю, 3-ю и 4-ю, три произвольных столбца, например, 1-й, 2-й и 4-й и с их пересечения «снимаем» минор 3-го порядка: .

Что касается миноров 4-го порядка, то здесь выбор уже невелик: необходимо задействовать все 4 строки и четыре произвольных столбца, например, все столбцы, за исключением 3-го:

Алгоритм нахождения ранга матрицы с помощью миноров

В качестве примера возьмём ту же матрицу . Поскольку в матрице есть ненулевые элементы, то её ранг не меньше единицы и, очевидно, что он не превосходит 4. Как действовать дальше?

Дальше необходимо начать перебор и вычисление миноров 2-го порядка. Если ВСЕ миноры 2-го порядка окажутся нулевыми, то ранг матрицы равен единице. Но это крайне маловероятно, рано или поздно (чаще всего рано), встретится ненулевой минор , и данный факт означает, что ранг матрицы не менее двух.

На следующем шаге последовательно перебираем и рассчитываем миноры 3-го порядка. Если ВСЕ эти миноры равны нулю, то . Если же встретился минор , то делаем вывод о том, что ранг матрицы не менее трёх и переходим к следующему шагу.

Перебор и вычисление миноров 4-го порядка. Если ВСЕ миноры 4-го порядка равны нулю, то , если встретился минор , то .

Таким образом, ранг матрицы равен максимальному порядку ненулевого минора.

Схему «перебора в лоб» часто критикуют, но как ни странно, во многих случаях она даёт неплохие результаты. Тем не менее, следует отметить длительность процесса и в целях сокращения количества вычислений разработан:

метод окаймляющих миноров

Алгоритм в общем виде, боюсь, будет мало кому понятен, гораздо проще разобрать его на конкретной задаче:

Найти ранг матрицы методом окаймляющих миноров

Решение: дана квадратная матрица «четыре на четыре» и, понятно, её ранг не больше четырёх.

Поскольку в матрице есть ненулевые элементы, то её ранг не менее единицы.

Проверку миноров 2-го порядка начинаем с так называемого углового минора .

, поэтому переходим к минору :

, значит, ранг матрицы не менее двух. Что было бы нужно сделать, если бы и этот минор оказался нулевым? В этом случае рассматриваем минор , и если он тоже равен нулю, едем дальше:

, , .

При необходимости (когда получились одни нули), следует продолжить перебор миноров по аналогичной схеме у:

1-й и 3-й строк;
1-й и 4-й строк;
2-й и 3-й строк;
2-й и 4-й строк;
3-й и 4-й строк – до тех пор, пока не повстречается минор, отличный от нуля.

Если все миноры 2-го порядка оказались нулевыми, то .

Но в нашем случае уже на втором шаге обнаружен «хороший» минор, и теперь мы переходим к рассмотрению миноров третьего порядка. Приделываем ноги младшему коллеге , который будет входить во все рассматриваемые миноры высших порядков:

Вопрос «третьим будешь?» может быть адресован либо красному, либо зелёному товарищу:

Был бы пятый столбец – нашёлся бы ещё один друг.

Начнём с красного:

Не помогло. Теперь сообразим с зелёным:

Тоже плохо. Свешиваем ноги ниже и последовательно берём в компанию «малиновые» и «коричневые» числа:

Сначала «синие» с «малиновыми»:
, значит, ранг матрицы не менее трёх. Если бы этот минор оказался равным нулю, то следовало бы вычислить определитель из «синих» и «коричневых» чисел. Других миноров 3-го порядка, которые содержат младший ненулевой минор – нет. И если бы «сине-коричневый» определитель тоже съел бублик, то .

Миноров 3-го порядка на самом деле больше, и рассматриваемый метод в данном случае позволяет сократить вычисления, максимум, до четырёх определителей. Успех нас поджидал на 3-м шаге, и «хороший» ненулевой минор удостаивается ботинок:

Теперь «синие» и «малиновые» столбцы должны входить во все миноры высших порядков. В данном случае это единственный минор 4-го порядка, совпадающий с определителем матрицы:
(т.к. 2-я и 3-я строки пропорциональны – см. свойства определителя)

Если бы у бабушки нас в матрице был пятый столбец, то следовало бы вычислить ещё один минор 4-го порядка («синие», «малиновый» + 5-й столбец).

Вывод: максимальный порядок ненулевого минора равен трём, значит, .

Возможно, не все до конца осмыслили данную фразу: минор 4-го порядка равен нулю, но среди миноров 3-го порядка нашёлся ненулевой – поэтому максимальный порядок ненулевого минора и равен трём.

Возникает вопрос, а почему бы сразу не вычислить определитель? Ну, во-первых, в большинстве заданий матрица не квадратная, а во-вторых, даже если у вас и получится ненулевое значение, то задание с высокой вероятностью забракуют, так как оно обычно подразумевает стандартное решение «снизу вверх». А в рассмотренном примере нулевой определитель 4-го порядка и вовсе позволяет утверждать, что ранг матрицы лишь меньше четырёх.

Должен признаться, разобранную задачу я придумал сам, чтобы качественнее объяснить метод окаймляющих миноров. В реальной практике всё проще:

Найти ранг матрицы методом окаймляющих миноров

Решение и ответ в конце урока.

Когда алгоритм работает быстрее всего? Вернёмся к той же матрице «четыре на четыре» . Очевидно, решение будет самым коротким в случае «хороших» угловых миноров:

И, если , то , в противном случае – .

Размышление совсем не гипотетично – существует немало примеров, где всё дело и ограничивается только угловыми минорами.

Однако в ряде случаев более эффективен и предпочтителен другой способ:

Как найти ранг матрицы с помощью метода Гаусса?

Параграф рассчитан на читателей, которые уже знакомы с методом Гаусса и мало-мальски набили на нём руку.

С технической точки зрения метод не отличается новизной:

1) с помощью элементарных преобразований приводим матрицу к ступенчатому виду;

2) ранг матрицы равен количеству строк.

Совершенно понятно, что использование метода Гаусса не меняет ранга матрицы, и суть здесь предельно проста: согласно алгоритму, в ходе элементарных преобразований выявляются и удаляются все лишние пропорциональные (линейно зависимые) строки, в результате чего остаётся «сухой остаток» – максимальное количество линейно независимых строк.

Преобразуем старую знакомую матрицу с координатами трёх коллинеарных векторов:

(1) Ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на –2. К третьей строке прибавили первую строку.

(2) Нулевые строки удаляем.

Таким образом, осталась одна строка, следовательно, . Что и говорить, это гораздо быстрее, чем рассчитать девять нулевых миноров 2-го порядка и только потом сделать вывод.

Напоминаю, что в самой по себе алгебраической матрице ничего менять нельзя, и преобразования выполняются только с целью выяснения ранга! Кстати, остановимся ещё раз на вопросе, почему нельзя? Исходная матрица несёт информацию, которая принципиально отлична от информации матрицы и строки . В некоторых математических моделях (без преувеличения) разница в одном числе может быть вопросом жизни и смерти. …Вспомнились школьные учителя математики начальных и средних классов, которые безжалостно срезали оценку на 1-2 балла за малейшую неточность или отклонение от алгоритма. И было жутко обидно, когда вместо, казалось бы, гарантированной «пятёрки» получалось «хорошо» или того хуже. Понимание пришло намного позже – а как иначе доверить человеку спутники, ядерные боеголовки и электростанции? Но вы не беспокойтесь, я не работаю в этих сферах =)

Перейдём к более содержательным заданиям, где помимо прочего познакомимся с важными вычислительными приёмами метода Гаусса:

Найти ранг матрицы с помощью элементарных преобразований

Решение: дана матрица «четыре на пять», значит, её ранг заведомо не больше, чем 4.

В первом столбце, отсутствует 1 или –1, следовательно, необходимы дополнительные действия, направленные на получение хотя бы одной единицы. За всё время существования сайта мне неоднократно задавали вопрос: «Можно ли в ходе элементарных преобразований переставлять столбцы?». Вот здесь – переставили первый-второй столбец, и всё отлично! В большинстве задач, где используется метод Гаусса, столбцы действительно переставлять можно. НО НЕ НУЖНО. И дело даже не в возможной путанице с переменными, дело в том, что в классическом курсе обучения высшей математике данное действие традиционно не рассматривается, поэтому на такой реверанс посмотрят ОЧЕНЬ криво (а то и заставят всё переделывать).

Второй момент касается чисел. В ходе решения полезно руководствоваться следующим эмпирическим правилом: элементарные преобразования по возможности должны уменьшать числа матрицы. Ведь с единицей-двойкой-тройкой работать значительно легче, чем, например, с 23, 45 и 97. И первое действие направлено не только на получение единицы в первом столбце, но и на ликвидацию чисел 7 и 11.

Сначала полное решение, потом комментарии:

(1) Ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на –2. К третьей строке прибавили первую строку, умноженную на –3. И до кучи: к 4-й строке прибавили 1-ю строку, умноженную на –1.

(2) Последние три строки пропорциональны. Удалили 3-ю и 4-ю строки, вторую строку переместили на первое место.

(3) Ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на –3.

В приведённой к ступенчатому виду матрице две строки.

Ответ:

Теперь ваша очередь мучить матрицу «четыре на четыре»:

Найти ранг матрицы методом Гаусса

Напоминаю, что метод Гаусса не предполагает однозначной жёсткости, и ваше решение, скорее всего, будет отличаться от моего решения. Краткий образец оформления задачи в конце урока.

Какой метод использовать для нахождения ранга матрицы?

На практике зачастую вообще не сказано, какой метод необходимо использовать для нахождения ранга. В такой ситуации следует анализировать условие – для одних матриц рациональнее провести решение через миноры, а для других значительно выгоднее применить элементарные преобразования:

Найти ранг матрицы

Решение: первый способ как-то сразу отпадает =)

Чуть выше я советовал не трогать столбцы матрицы, но когда есть нулевой столбец, либо пропорциональные/совпадающие столбцы, то всё же стОит провести ампутацию:

(1) Пятый столбец нулевой, удалим его из матрицы. Таким образом, ранг матрицы не больше четырёх. Первую строку умножили на –1. Это ещё одна фирменная фишка метода Гаусса, превращающая следующее действие в приятную прогулку:

(2) Ко всем строкам, начиная со второй, прибавили первую строку.

(3) Первую строку умножили на –1, третью строку разделили на 2, четвёртую строку разделили на 3. К пятой строке прибавили вторую строку, умноженную на –1.

(4) К пятой строке прибавили третью строку, умноженную на –2.

(5) Последние две строки пропорциональны, пятую удаляем.

В результате получено 4 строки.

Ответ:

Стандартная пятиэтажка для самостоятельного исследования:

Найти ранг матрицы

Краткое решение и ответ в конце урока.

Следует отметить, что словосочетание «ранг матрицы» не так часто встретишь на практике, и в большинстве задач можно вообще обойтись без него. Но существует одно задание, где рассматриваемое понятие является главным действующим лицом, и в заключение статьи мы рассмотрим это практическое приложение:

Как исследовать систему линейных уравнений на совместность?

Нередко помимо решения системы линейных уравнений по условию предварительно требуется исследовать её на совместность, то есть доказать, что какое-либо решение вообще существует. Ключевую роль в такой проверке играет теорема Кронекера-Капелли, которую я сформулирую в необходимом виде:

Если ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы системы, то система совместна, причём, если данное число совпадает с количеством неизвестных, то решение единственно.

Таким образом, для исследования системы на совместность нужно проверить равенство , где – матрица системы (вспоминаем терминологию из урока Метод Гаусса), а – расширенная матрица системы (т.е. матрица с коэффициентами при переменных + столбец свободных членов).

Исследовать систему на совместность и найти её решение, если система совместна

А когда системы уже прорешаны – просто вдвойне… нет – втройне =)

Решение: тем не менее, обратим внимание на строгую верхнюю строчку – по условию,
в первую очередь, требуется проверить систему на совместность. Как начать решение?
В любом случае записываем расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приводим её к ступенчатому виду:

а) Пример №1 статьи о методе исключения неизвестных:

Элементарные преобразования не меняют ранга матриц, поэтому в результате выполненных действий получены эквивалентные исходным матрица системы и расширенная матрица системы .

Максимальный порядок ненулевого минора матрицы системы равен трём. Здесь таковой минор в единственном экземпляре и совпадает он, понятно, с определителем самой матрицы:
(см. урок о методах вычисления определителя)

Следовательно, .

Максимальный порядок ненулевого минора расширенной матрицы системы также равен трём:
(взяты первые два столбца + столбец свободных членов).

Таким образом, .

Вывод: , значит, по теореме Кронекера-Капелли система совместна; и поскольку количество переменных ( – 3 шт.) совпадает с рангом, то система имеет единственное решение.

Что дальше? Дальше следует непосредственно решить систему. Если по условию не предложен способ, то, конечно же, раскручиваем обратный ход метода Гаусса. Если требуется решить систему методом Крамера или с помощью обратной матрицы, ну что поделать….

б) Пример №1 статьи о несовместных системах и системах с общим решением:

В результате элементарных преобразований получена эквивалентная матрица системы и расширенная матрица системы .

Максимальный порядок ненулевого минора матрицы системы равен двум, например:
, поэтому

Заметьте, что здесь есть возможность выбрать и другой минор 2-го порядка, но проще всего в качестве примера взять ступенчатый определитель.

Максимальный порядок ненулевого минора расширенной матрицы системы равен трём, например:
(первые два столбца + столбец свободных членов).

Таким образом, .

Вывод: , значит, по теореме Кронекера-Капелли система несовместна.

Однако помните – если по условию не требуется исследовать систему на совместность, то вполне достаточно ограничиться стандартным ответом (см. решение вышеуказанного урока).

в) Пример №3 той же статьи:

В результате элементарных преобразований получена эквивалентная матрица системы и расширенная матрица системы .

Максимальный порядок ненулевого минора матрицы системы равен двум, например:
, следовательно, .

Максимальный порядок ненулевого минора расширенной матрицы системы также равен двум, например:
, поэтому

Второй абзац можно полностью заменить хитрой лаконичной фразой: «по этой же причине ».

Вывод: , значит, по теореме Кронекера-Капелли система совместна. Поскольку ранг меньше количества переменных ( – 4 шт.), то система имеет бесконечно много решений.

Далее находим общее решение по стандартной схеме.

Образец исследования системы на совместность также можно посмотреть в начале
Примера №1 урока о нахождении различных базисных решений системы.

…Всё-таки иногда удивительно обманываются ожидания – порой думаешь, что статья получится огромной, а она оказывается весьма компактной, а иногда, как сейчас – наоборот. Посмотрел статистику и жутко удивился добрым 20-ти тысячам символов. Поэтому всем высокого ранга и до скорых встреч!

Пример 2: Решение: поскольку в матрице есть ненулевые элементы, то её ранг не меньше единицы.
, значит, ранг матрицы не менее двух.
Рассмотрим миноры 3-го порядка, при этом в них обязательно должен содержаться ненулевой минор . Таких миноров два:

Максимальный порядок ненулевого минора равен двум.
Ответ:

Пример 4: Решение: с помощью элементарных преобразований приведем матрицу к ступенчатому виду:

(1) Первую и вторую строки поменяли местами. К 4-й строке прибавили 3-ю строку, умноженную на –2.
(2) Вторая и 4-я строки одинаковы, 4-ю строку удалили. К третьей строке прибавили вторую строку, умноженную на –1.
(3) Первую и третью строки поменяли местами.
(4) Ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на –2. К 3-й строке прибавили первую строку, умноженную на –1.
(5) К третьей строке прибавили вторую строку, умноженную на 3.
В результате получены 3 строки, значит, ранг матрицы равен 3.
Ответ:

Пример 6: Решение: ранг матрицы не превосходит минимальной размерности, то есть, трёх.
В матрице есть ненулевые элементы, значит, ранг не менее единицы.

Максимальный порядок ненулевого минора равен трём
Ответ:

Автор: Емелин Александр

(Переход на главную страницу)

«Всё сдал!» — онлайн-сервис помощи студентам

Источник