Частное степеней что такое
Свойства степени
Напоминаем, что в данном уроке разбираются свойства степеней с натуральными показателями и нулём. Степени с рациональными показателями и их свойства будут рассмотрены в уроках для 8 классов.
Степень с натуральным показателем обладает несколькими важными свойствами, которые позволяют упрощать вычисления в примерах со степенями.
Свойство № 1
Произведение степеней
При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание остаётся без изменений, а показатели степеней складываются.
Данное свойство степеней также действует на произведение трёх и более степеней.
Свойство № 2
Частное степеней
При делении степеней с одинаковыми основаниями основание остаётся без изменений, а из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя.
Пользуясь свойствами № 1 и № 2, можно легко упрощать выражения и производить вычисления.
Обратите внимание, что в свойстве 2 речь шла только о делении степеней с одинаковыми основаниями.
Свойство № 3
Возведение степени в степень
При возведении степени в степень основание степени остаётся без изменения, а показатели степеней перемножаются.
По свойству возведения степени в степень известно, что при возведении в степень показатели перемножаются, значит:
Свойства 4
Степень произведения
При возведении в степень произведения каждый из множителей возводится в степень. Затем полученные результаты перемножаются.
Обратите внимание, что свойство № 4, как и другие свойства степеней, применяют и в обратном порядке.
То есть, чтобы перемножить степени с одинаковыми показателями можно перемножить основания, а показатель степени оставить неизменным.
В более сложных примерах могут встретиться случаи, когда умножение и деление надо выполнить над степенями с разными основаниями и разными показателями. В этом случае советуем поступать следующим образом.
Например, 4 5 · 3 2 = 4 3 · 4 2 · 3 2 = 4 3 · (4 · 3) 2 = 64 · 12 2 = 64 · 144 = 9216
Пример возведения в степень десятичной дроби.
4 21 · (−0,25) 20 = 4 · 4 20 · (−0,25) 20 = 4 · (4 · (−0,25)) 20 = 4 · (−1) 20 = 4 · 1 = 4
Свойства 5
Степень частного (дроби)
Чтобы возвести в степень частное, можно возвести в эту степень отдельно делимое и делитель, и первый результат разделить на второй.
Напоминаем, что частное можно представить в виде дроби. Поэтому на теме возведение дроби в степень мы остановимся более подробно на следующей странице.
Свойства степеней. Действия со степенями
Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).
Что такое степень числа
В учебниках по математике можно встретить такое определение:
«Степенью n числа а является произведение множителей величиной а n раз подряд»
a — основание степени;
n — показатель степени.
Читается такое выражение, как a в степени n
Если говорить проще то, степень, а точнее показатель степени (n), говорит нам о том, сколько раз следует умножить это число (основание степени) само на себя.
А значит, если у нас есть задачка, где спрашивают, как возвести число в степень, например, число 2 в третью степень, то она решается довольно просто:
2 — основание степени;
3 — показатель степени.
Если вам нужно быстро возвести число в степень, можно использовать наш онлайн-калькулятор. Но чтобы не упасть в грязь лицом на контрольной по математике, придется все-таки разобраться с теорией.
Рассмотрим пример из жизни, чтобы было понятно, для чего можно использовать возведение чисел в степень на практике.
Задачка про миллион: представьте, что у вас есть миллион рублей. В начале каждого года вы зарабатываете на нем еще два. Получается, что миллион каждый год утраивается. Был один, а стало три — и так каждый год. Здорово, правда? А теперь посчитаем, какая сумма у вас будет через 4 года.
Как решаем: один миллион умножаем на три (1·3), затем результат умножаем на три, потом еще на три. Наверное, вам уже стало стало скучно, потому что вы поняли, что три нужно умножить само на себя четыре раза. Так и сделаем:
Математики заскучали и решили все упростить:
Ответ: через четыре года у вас будет 81 миллион.
Таблица степеней
Здесь мы приведем результаты возведения в степень натуральных чисел от 1 до 10 в квадрат (показатель степени два) и куб (показатель степени 3).
Что такое степень числа
Обращаем ваше внимание, что в данном разделе разбирается понятие степени только с натуральным показателем и нулём.
Понятие и свойства степеней с рациональными показателями (с отрицательным и дробным) будут рассмотрены в уроках для 8 класса.
Итак, разберёмся, что такое степень числа. Для записи произведения числа самого на себя несколько раз применяют сокращённое обозначение.
Вместо произведения шести одинаковых множителей 4 · 4 · 4 · 4 · 4 · 4 пишут 4 6 и произносят «четыре в шестой степени».
4 · 4 · 4 · 4 · 4 · 4 = 4 6
Выражение 4 6 называют степенью числа, где:
В общем виде степень с основанием « a » и показателем « n » записывается с помощью выражения:
Исключение составляют записи:
Конечно, выражения выше можно читать и по определению степени:
Степенью числа « а » с показателем n = 1 является само это число:
a 1 = a
Любое число в нулевой степени равно единице.
a 0 = 1
Ноль в любой натуральной степени равен нулю.
0 n = 0
Единица в любой степени равна 1.
1 n = 1
Выражение 0 0 (ноль в нулевой степени) считают лишённым смысла.
При решении примеров нужно помнить, что возведением в степень называется нахождение числового или буквенного значения после его возведения в степень.
Пример. Возвести в степень.
Возведение в степень отрицательного числа
Основание степени (число, которое возводят в степень) может быть любым числом — положительным, отрицательным или нулём.
При возведении в степень положительного числа получается положительное число.
При возведении нуля в натуральную степень получается ноль.
При возведении в степень отрицательного числа в результате может получиться как положительное число, так и отрицательное число. Это зависит от того чётным или нечётным числом был показатель степени.
Рассмотрим примеры возведения в степень отрицательных чисел.
Из рассмотренных примеров видно, что если отрицательное число возводится в нечётную степень, то получается отрицательное число. Так как произведение нечётного количество отрицательных сомножителей отрицательно.
Если же отрицательное число возводится в чётную степень, то получается положительное число. Так как произведение чётного количество отрицательных сомножителей положительно.
Квадрат любого числа есть положительное число или нуль, то есть:
Обратите внимание!
При решении примеров на возведение в степень часто делают ошибки, забывая, что записи (−5) 4 и −5 4 это разные выражения. Результаты возведения в степень данных выражений будут разные.
Вычислить (−5) 4 означает найти значение четвёртой степени отрицательного числа.
В то время как найти « −5 4 » означает, что пример нужно решать в 2 действия:
Пример. Вычислить: −6 2 − (−1) 4
Порядок действий в примерах со степенями
Вычисление значения называется действием возведения в степень. Это действие третьей ступени.
Если в выражении есть скобки, то сначала в указанном выше порядке выполняют действия в скобках, а потом оставшиеся действия в том же порядке слева направо.
Для облегчения решения примеров полезно знать и пользоваться таблицей степеней, которую вы можете бесплатно скачать на нашем сайте.
Для проверки своих результатов вы можете воспользоваться на нашем сайте калькулятором «Возведение в степень онлайн».
Степень и ее свойства. Определение степени
Разделы: Математика
Ознакомить учащихся со свойствами степеней с натуральными показателями и научить выполнять действия со степенями.
Степенью числа a с натуральным показателем n, большим 1, называется произведение n множителей, каждый из которых равен а. Степенью числа а с показателем 1 называется само число а.
По определению степени:
а n = 
Нахождение значения степени называют возведением в степень.
1. Примеры возведения в степень:
2. Представьте в виде квадрата числа: 25 ; 0,09 ; 
25 = 5 2 ; 0,09 = ( 0,3 ) 2 ;
.
.3. Представьте в виде куба числа:
4. Найти значения выражений:
а) 3• 10 3 = 3• 10• 10• 10 = 3• 1000 = 3000
1. Запишите произведение в виде степени:
б) 
2. Представьте в виде квадрата числа:
16 ; 0,25 ; 
.
3. Представьте в виде куба числа:
125 ; 0,027 ; 
.
4. Найти значения выражений :
Для любого числа а и произвольных чисел m и n выполняется:
Правило: При умножении степеней с одинаковыми основаниями основания оставляют прежним, а показатели степеней складывают.
a m a n a k = a m + n a k = a ( m + n ) + k = a m + n + k
1. Представить в виде степени:
б) y• y 6 = y 1 • y 6 = y 1 + 6 = y 7
в) b 2 • b 5 • b 4 = b 2 + 5 + 4 = b 11
г) 3 4 • 9 = 3 4 • 3 2 = 3 6
д) 0,01• 0,1 3 = 0,1 2 • 0,1 3 = 0,1 5
2. Представить в виде степени и найти значение по таблице:
б) 3 2 • 3 5 = 3 7 = 2187
1. Представить в виде степени:
д) 2 3 •2 4 к) 0,3 3 •0,09
2. Представить в виде степени и найти значение по таблице:
б) 3 4 •3 2 г) 27• 243
Для любого числа а
0 и произвольных натуральных чисел m и n, таких, что m>n выполняется:
по определению частного:
Правило: При делении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют прежним, а из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя.
Определение: Степень числа а, не равного нулю, с нулевым показателем равна единице:
1. Представьте в виде степени частное:
г) с 5 :с 0 = с 5 :1 = с 5
2. Найдите значения выражений:
б) 10 20 :10 17 = 10 3 = 1000
в) 
г) 
д) 
1. Представьте в виде степени частное:
2. Найдите значения выражений:
в) 
г) 
д) 
Возведение в степень произведения.
Для любых а и b и произвольного натурального числа n:
По определению степени
( ab ) n = 
Сгруппировав отдельно множители а и множители b, получим:
= 
Доказанное свойство степени произведения распространяется на степень произведения трех и более множителей.
( a• b• c ) n = a n •b n •c n ;
Правило: При возведении в степень произведения возводят в эту степень каждый множитель и результат перемножают.
1. Возвести в степень:
б) (2• х• у ) 3 =2 3 •х 3 •у 3 = 8• х 3 •у 3
в) ( 3• а ) 4 = 3 4 •а 4 = 81• а 4
д) (-0,2• х• у ) 2 = (-0,2) 2 •х 2 •у 2 = 0,04• х 2 •у 2
е) (-3• a• b• c ) 4 = (-3) 4 •a 4 •b 4 •c 4 = 81• a 4 •b 4 •c 4
2. Найти значение выражения:
а) (2• 10) 4 = 2 4 •10 4 = 16• 1000 = 16000
б) (3• 5• 20) 2 = 3 2 •100 2 = 9• 10000= 90000
в) 2 4 •5 4 = (2• 5) 4 = 10 4 = 10000
г) 0,25 11 •4 11 = (0,25• 4) 11 = 1 11 = 1
д) 
1. Возвести в степень:
е) 
2. Найти значение выражения:
г) 
д) 
Возведение в степень степени.
Для любого числа а и произвольных натуральных чисел m и n:
По определению степени
( а m ) n = 
Правило: При возведении степени в степень основание оставляют тем же, а показатели перемножают.
1. Возвести в степень:
( а 3 ) 2 = а 6 ( х 5 ) 4 = х 20
( у 5 ) 2 = у 10 ( b 3 ) 3 = b 9
2. Упростите выражения:
а) а 3 •( а 2 ) 5 = а 3 •а 10 = а 13
б) ( b 3 ) 2 •b 7 = b 6 •b 7 = b 13
в) ( х 3 ) 2 •( х 2 ) 4 = х 6 •х 8 = х 14
г) ( у• у 7 ) 3 = ( у 8 ) 3 = у 24
3. Найдите значение выражений:
а)
б) 
1. Возвести в степень:
в) ( у 3 ) 2 г) ( b 4 ) 4
2. Упростите выражения:
3. Найдите значение выражений:
а)
б) 
Приложение
1ю Запишите произведение в виде степени:
б) 
2. Представьте в виде квадрата числа:
25 ; 0,16 ; 
.
3. Представьте в виде куба числа:
64 ; 0,125 ; 
.
4. Найти значения выражений:
1. Запишите произведение в виде степени:
б) 
в) с• с• с• с• с• с• с• с• с
2. Представьте в виде квадрата числа: 100 ; 0,49 ; 
.
3. Представьте в виде куба числа:
1000 ; 0,008 ; 
.
4. Найти значения выражений :
1. Запишите произведение в виде степени:
б) 
д) ( bс ) • ( bс ) • ( bс ) • ( bc )
2. Представьте в виде квадрата числа:
81 ; 0,64 ;
.
3. Представьте в виде куба числа:
216 ; 0,064 ; 
.
4. Найти значения выражений :
1. Представить в виде степени:
д) 2 2 •2 5 к) 0,2 3• 0,04
2. Представить в виде степени и найти значение по таблице:
1. Представить в виде степени:
д) 2 3 •2 6 к) 0,3 4 •0,27
2. Представить в виде степени и найти значение по таблице:
1. Представить в виде степени:
б) х 7 •х 8 ж) 3 4 •27
д) 2 4 •2 5 к) 0,2 2 •0,008
2. Представить в виде степени и найти значение по таблице:
1. Представьте в виде степени частное:
2. Найдите значения выражений:
в) 
г) 
д) 
1. Представьте в виде степени частное:
2. Найдите значения выражений:
в) 
г) 
д) 
1. Представьте в виде степени частное:
2. Найдите значения выражений:
в) 
г) 
д) 
Возведение в степень произведения.
1. Возвести в степень:
2. Найти значение выражения:
д) 
1. Возвести в степень:
е) 
2. Найти значение выражения:
г) 
1. Возвести в степень:
2. Найти значение выражения:
д) 
Возведение в степень степени.
1. Возвести в степень:
2. Упростите выражения:
3. Найдите значение выражений:
а)
б) 
1. Возвести в степень:
2. Упростите выражения:
3. Найдите значение выражений:
а)
б) 
1. Возвести в степень:
2. Упростите выражения:
3. Найдите значение выражений:
а)
б) 
Свойства степеней
Основные свойства степеней задаются формулами:
(При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют прежним, а показатели степеней складывают).
(При делении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют прежним, а из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя).
(При возведении степени в степень основание оставляют прежним, а показатели перемножают).
(При возведении в степень произведения возводят в эту степень каждый множитель и результаты перемножают).
(При возведении в степень частного возводят в эту степень и делимое, и делитель, результаты делят).
Если n — натуральное число, то
<0,0^r>= 0. \end
В школьном курсе алгебры свойства степеней изучаются на протяжении нескольких лет: сначала для степени с натуральным показателем, затем — для степени с целым показателем, далее — для степени с рациональным и иррациональным показателем.
Свойства степеней с натуральным и целым показателем верны и для степеней с рациональными и иррациональными показателем, но накладывается дополнительное условие: основания степеней в этом случае должны быть положительными.
По определению, для любого α
8 комментариев
вы забыли ещё два важных свойства степеней: a в степени b не равно b в степени a, то есть возведение в степень неперестановочно. Также возведение в степень не обладает сочетательным свойством