Частное и произведение в математике что это

Что такое сумма, разность, произведение, частное в математике?

В каких ещё значениях, не связанных с математикой, употребляются эти слова?

Я математик по образованию, специальность: учитель математики. Проработала всю жизнь преподавателем математики в педвузе.

Необходимо оговориться. Речь в дальнейшем пойдет о сумме, разности, произведении, частном чисел.

Ответы на данные вопросы хотя и простые, но вызывают затруднения у учащихся. Чтобы можно было более подробно рассмотреть эту обобщающую тему, предлагаю вашему вниманию полезный материал по ней. Заметка называется «Математика для блондинок».

Мне понравилась методика изучения.

Задается провокационный вопрос:

Пытаются заинтересовать (ни одна предложенная версия не является верной!)))

О других значениях данных слов не задумываюсь, математика затмевает все.)))

Это такие математические понятия.

Эти все понятия проходят в начальной школе.

В математике есть четыре простые операции, которые можно применить к двум числам и получить такие результаты:

I. Математические понятия СУММА, РАЗНОСТЬ, ПРОИЗВЕДЕНИЕ, ЧАСТНОЕ взаимосвязаны с математическими терминами СЛОЖЕНИЕ, ВЫЧИТАНИЕ, УМНОЖЕНИЕ, ДЕЛЕНИЕ.

Все определения даются здесь на множестве натуральных чисел.

Каждой паре чисел ставится в соответствие число, называемое их СУММОЙ.

Сумма состоит из стольких единиц, сколько их содержится в числах (слагаемых) из данной пары.

СУММА есть результат сложения чисел-слагаемых.

Каждой паре чисел можно поставить в соответствие число, которое состоит из стольких единиц, сколько их содержится в первом числе из пары, взятых столько раз, сколько единиц содержится во втором числе из пары. Это соответствующее таким образом паре чисел (они называются сомножителями) число называется ПРОИЗВЕДЕНИЕМ.

Деление есть операция, обратная умножению.

II. ДРУГИЕ ЗНАЧЕНИЯ СЛОВ СУММА, РАЗНОСТЬ, ПРОИЗВЕДЕНИЕ, ЧАСТНОЕ.

Все используемые в качестве математических понятий слова могут иметь и другие лексические значения.

СУММА в переносном значении означает совокупность, общее количество чего-либо.

Например. Профессионализм педагога заключается в сумме знаний, умений и навыков, передаваемых им своим ученикам. Отсутствие нужной суммы денег заставило отказаться от покупки.

РАЗНОСТЬ имеет значения разницы, несходства, отличия в чем-либо.

ПРОИЗВЕДЕНИЕ означает что-либо произведенное в процессе труда, создание чего-нибудь, продукт труда, творчества, искусства и т.п.

Например. Подруга подарила мне записную книжку с надписью «Частное». Хорошо ли противопоставлять частное общественному?

Источник

Что такое частное в математике?

Математика – уникальная наука, которая привлекает точностью и последовательностью. Каждый, кто начал изучать эту важную дисциплину, должен разобраться, что такое частное в математике.

Деление

В математике есть четыре простейших операции:

Если мы говорим о частном, то нас будет интересовать такая операция, как деление.

Деление всегда обратно умножению. Это математическая величина, которую мы получим, разделив одно число на другое. Есть ряд символов, которые обозначают его:

В учебных пособиях для учеников 1 – 5 классов есть простое и точное определение этого понятия. Деление – это операция, в результате которой мы получаем число, которое при умножении на делитель дает делимое. Число, о котором говорится в первой части определения, и есть частное.

Частное рассказывает, во сколько раз одно число больше другого.

Наглядные примеры

Чтобы лучше понять, что такое частное чисел в математике, следует обратиться к примерам. Они помогут разложить знания по полочкам в вашей голове. Решение примеров – это лучший тренажер для усвоения новых знаний. Приступим к их решению.

Итак, частное получается, если делимое поделить на делитель. При помощи символов эту операцию можно записать следующим образом:

Запишем простой пример из математики:

80:2=40

80 – делимое (оно делится)

2 – это делитель (на него разделяют)

Восемьдесят больше, чем сорок, в два раза.

Другой пример выглядит так:

120:2=60

Сто двадцать больше, чем шестьдесят, в два раза.

Проверка

Если вы провели операцию деления и сомневаетесь в результате, на помощь придет проверка. Для этого умножьте делитель на частное. Если в результате вы получили делимое, то пример решен верно:

Если после знака равно вы увидели знакомое вам делимое, то можете поставить себе твердую пятерку. Вы научились находить частное чисел и делать проверку. Это очень важно, чтобы в дальнейшем освоить более сложные понятия в алгебре и геометрии.

Частное – это основа математики. Если ученик не смог понять его суть, то двигаться дальше просто бессмысленно. Обратитесь к учителю, если это понятие так и осталось для вас туманным. Педагог разъяснит все ошибки и укажет на подводные камни.

Полное и неполное частное

В результате проведения математических подсчетов частное может быть двух видов:

100:2=50

50 – полное частное

51:2=25 (остаток 1)

25 – неполное частное

1 – остаток от деления

Если вы откроете учебник математики, то увидите, что частное в задачах обозначают при помощи различных символов (переменных). Для этого используют латинские буквы:

30:6=x

Чтобы найти частное, следует делимое разделить на делитель:

Ответ 5 – это частное в данном примере.

Абстрактные определения и туманные рассуждения плохо усваиваются мозгом школьника. Поэтому всегда держите под рукой задачник со списком упражнений по математике. Он поможет понять различные математические категории на практике. Конкретные цифры, записанные в тетради, станут главными помощниками.

Источник

Частное в математике — определение, свойства и формула

Математика – царица наук. Она хоть и сложна, и многие боятся некоторых запутанных формул и вычислений, но все они состоят из простых арифметических действий сложения, вычитания, умножения и деления.

Производные операции от этих действий называются суммой, разностью, произведением и частным. Что такое частное в математике и каковы его главные свойства – будет подробно рассказано далее.

Основное свойство частного

Деление – это арифметическая операция, обратная умножению. С ее помощью можно просто узнать, сколько в первом числе содержится значений второго.

По аналогии с умножением, которое способно заменить собой многократное сложение, дробление способно заменить многократное вычитание.

Например, необходимо разделить 10 на 2. Это означает, что требуется узнать, сколько раз число 2 содержится в 10. Делая это вычитанием можно получить следующее:

10 — 2 — 2 — 2 — 2 — 2 = 0.

Проводя постепенное вычитание до нуля, можно определить, что двойка содержится в десятке ровно 5 раз и не образует остаток. Сделать это можно было однократно поделив два значения:

Частное чисел – это итог процесса деления одного значения на второе. Пример:

Одно из важнейших правил деления частного, называемое основным свойством частного, заключается в том, что если делимое и делитель умножить или разделить на одно и то же число, то итог этой операции и, соответственно частное, не изменится:

При делении числа самого на себя результатом всегда будет единица, то есть справедливо равенство:

Справедливо и другое правило: если разделить определенную величину на единицу, то итогом процесса будет сама эта величина, то есть делимое:

Увеличение или уменьшение делимого

Некоторые другие соотношения вытекают из этих. Например, если увеличить или уменьшить делимое в n раз, то в результате частное также повысится или понизится в n раз соответственно.

Изложенное правило имеет такой вид:

12 ⁄ 2 = 6 и пусть n = 3.

Проведём увеличение и уменьшение делимого:

(12∗3) /2 = 6∗3 — увеличили делимое на 3, равенство верное: 36 / 2 = 18;

(12 / 3) / 2 = 6 / 3 — уменьшили делимое на 3, равенство все равно верное: 4 / 2 = 2.

То есть, в три раза увеличив делимое, можно в три раза увеличить частное. Аналогично выполняется и уменьшение.

Увеличение или уменьшение делителя

Следующее правило звучит так: если увеличить или уменьшить делитель в n раз, то результат деления понизится или повысится в n-нное количество раз:

Для примера требуется взять частное двух значений 54 и 6:

a / b = c и пусть n = 3.

Проведём увеличение и уменьшение делителя:

54 / (6∗3) = 9 / 3 — увеличили делитель в 3 раза, равенство верное: 54 / 18 =3;

54 / (6 / 3) = 9∗3 — уменьшили делитель в 3 раза, получаем равенство: 54 / 2 = 27.

Увеличив делитель в 3 раза, во столько же раз уменьшили частное. Уменьшив делитель в три раза, делитель, напротив, увеличился в три раза.

Проверить эти «законы» можно в любом онлайн калькуляторе или вручную в уме или на бумаге.

Данные правила являются фундаментальными и составляют базу арифметики, с которой начинается математика и остальные области знаний.

Источник

Основные арифметические действия: определения, примеры

В данной публикации мы рассмотрим определения, общие формулы и примеры 4 основных арифметических (математических) действий с числами: сложения, вычитания, умножения и деления.

Сложение

Сложение – это математическое действие, в результате которого находится сумма.

Обозначается сложение специальным знаком “+“ (плюс), а сумма – “Σ“.

Пример: найдем сумму чисел.
1) 3, 5 и 23.
2) 12, 25, 30, 44.

Ответы:
1) 3 + 5 + 23 = 31
2) 12 + 25 + 30 + 44 = 111.

Вычитание

Вычитание чисел – это обратное сложению математическое действие, в результате коротого находится разность ( c ). Например:

Обозначается вычитание специальным знаком “–“ (минус).

Пример: найдем разность чисел.
1) 62 минус 32 и 14.
2) 100 минус 49, 21 и 6.

Ответы:
1) 62 – 32 – 14 = 16.
2) 100 – 49 – 21 – 6 = 24.

Умножение

Умножение – это арифметическое действие, в результате которого вычисляется произведение.

Обозначается умножение специальными знаками “·“ или “x“.

Пример: найдем произведение чисел.
1) 3, 10 и 12.
2) 7, 1, 9 и 15.

Ответы:
1) 3 · 10 · 12 = 360.
2) 7 · 1 · 9 · 15 = 945.

Деление

Деление чисел – это обратное умножению действие, в результате коротого вычисляется частное ( d ). Например:

Обозначается деление специальными знаками “:“ или “/“.

Пример: найдем частное чисел.
1) 56 разделим на 8.
2) 100 разделим на 5, затем на 2.

Ответы:
1) 56 : 8 = 7.
2) 100 : 5 : 2 = 10 (, ).

Источник

Математика – царица наук. Она хоть и сложна, и многие боятся некоторых запутанных формул и вычислений, но все они состоят из простых арифметических действий сложения, вычитания, умножения и деления.

Производные операции от этих действий называются суммой, разностью, произведением и частным. Что такое частное в математике и каковы его главные свойства – будет подробно рассказано далее.

Основное свойство частного

Деление – это арифметическая операция, обратная умножению. С ее помощью можно просто узнать, сколько в первом числе содержится значений второго.

По аналогии с умножением, которое способно заменить собой многократное сложение, дробление способно заменить многократное вычитание.

Например, необходимо разделить 10 на 2. Это означает, что требуется узнать, сколько раз число 2 содержится в 10. Делая это вычитанием можно получить следующее:

10 — 2 — 2 — 2 — 2 — 2 = 0.

Проводя постепенное вычитание до нуля, можно определить, что двойка содержится в десятке ровно 5 раз и не образует остаток. Сделать это можно было однократно поделив два значения:

Частное чисел – это итог процесса деления одного значения на второе. Пример:

Одно из важнейших правил деления частного, называемое основным свойством частного, заключается в том, что если делимое и делитель умножить или разделить на одно и то же число, то итог этой операции и, соответственно частное, не изменится:

При делении числа самого на себя результатом всегда будет единица, то есть справедливо равенство:

Справедливо и другое правило: если разделить определенную величину на единицу, то итогом процесса будет сама эта величина, то есть делимое:

Увеличение или уменьшение делимого

Некоторые другие соотношения вытекают из этих. Например, если увеличить или уменьшить делимое в n раз, то в результате частное также повысится или понизится в n раз соответственно.

Изложенное правило имеет такой вид:

12 ⁄ 2 = 6 и пусть n = 3.

Проведём увеличение и уменьшение делимого:

То есть, в три раза увеличив делимое, можно в три раза увеличить частное. Аналогично выполняется и уменьшение.

Увеличение или уменьшение делителя

Следующее правило звучит так: если увеличить или уменьшить делитель в n раз, то результат деления понизится или повысится в n-нное количество раз:

Для примера требуется взять частное двух значений 54 и 6:

a / b = c и пусть n = 3.

Проведём увеличение и уменьшение делителя:

Увеличив делитель в 3 раза, во столько же раз уменьшили частное. Уменьшив делитель в три раза, делитель, напротив, увеличился в три раза.

Проверить эти «законы» можно в любом онлайн калькуляторе или вручную в уме или на бумаге.

Данные правила являются фундаментальными и составляют базу арифметики, с которой начинается математика и остальные области знаний.

Источник