Прямая и ее части – что такое в математике, правило

В геометрии любой объект состоит из базовых элементов: точек, прямых и плоскостей. Любая фигура, не важно, плоская она или объемная, будет состоять из этих элементов. Определение точки понятно, но вот как понять, что такое прямая и как она может быть бесконечной – в 5 классе не так просто разобраться.

Определение прямой

Определение прямой начинается с определения линии. Что такое линия? Это множество точек, соединенных между собой. Линия может быть прямой, кривой, ломанной, непрерывной и даже разомкнутой. И именно из-за этого разнообразия линии очень трудно определить в пространстве. Непонятно, как пройдет та или иная кривая, когда выйдет за пределы листа. Поэтому был выделен отдельный вид линий – прямые.

Когда в разговоре вы слышите прямая – люди имеют в виду прямую линию, но последнее слово в словосочетании принято опускать.

Что такое прямая в математике? Прямые это бесконечные непрерывные линии, которые не имеют искривлений. Первое правило линий: через любые две точки можно провести линию. А вот через три точки уже не всегда. Чаще всего через три точки можно провести три прямых.

Если прямая проходит через три точки, то про эти точки говорят, что они лежат на одной прямой. Прямые, как правило, обозначают малой латинской буквой или по названию двух точек на прямой.

Почему двух, а не трех? Очень просто: через две точки может пройти только одна прямая. Тогда как через одну: бесконечное множество. А три точки не имеет смысла использовать: ни к чему усложнять обозначение.

Взаимное расположение прямых

Две прямые в пространстве могут располагаться по-разному. Самый простой и частый случай это пересечение. Если две прямые имеют одну общую точку, про такие прямые говорят, что они пересекаются.

Рис. 2. Взаимное расположение прямых.

А как прямые назвать, если они не пересекаются? Тогда – параллельные, то есть прямые, которые не имеют общих точек.

А что будет, если у двух прямых две и больше общих точек? Тогда прямые совпадут.

При пересечении двух прямых образуется две пар вертикальных углов. Вертикальные углы в каждой паре равны между собой.

Если угол пересечения равен 90 градусов, то прямые перпендикулярны друг другу.

Рис. 3. Пересечение прямых.

Точка на прямой

Точка на прямой это почти магия. Сама по себе прямая это множество точек, но стоит отметить одну из них и геометрическую фигуру можно назвать как прямой, так и двумя лучами с началом в одной точке. Если поставить две точки на прямой, то они будут отделять часть прямой, которую называют отрезком.

Любой отрезок является частью прямой.

Что мы узнали?

Мы дали определении линиям, выделили виды линий, а так же рассмотрели, какая из линий может называться прямой. Поговорили о том, как обозначаются прямые и как они могут располагаться в пространстве относительно друг друга. Выяснили, что точка на прямой может сделать из прямой отрезок или луч.

Источник

Отрезок. Ломаная линия

Отрезок представляет собой часть прямой линии, которая находится между двумя точками. Эти точки называют концы отрезка.
Иными словами, отрезок – это множество точек прямой линии, находящиеся между двух известных точек, которые называют концами отрезка.

Рис. 1 Отрезок на прямой

Рис. 2 Несколько отрезков на прямой

Отрезок делит прямую линию на три объекта (смотри рисунок 3):

То есть, два конца отрезка прямой являются соответственно началами двух лучей этой же прямой.

Рис. 3 Отрезок и лучи прямой

Рис. 4 Отрезок без прямой

Рис. 5 Отрезок и принадлежащие ему точки

Так, на рисунке 5 видно, что:

В последнем случае точка F хотя и лежит на одной прямой линии с отрезком AB (если вы мысленно продлите линию от точки B дальше, то увидите это), но не принадлежит ему, потому что находится не между его концами, а справа от отрезка.

Рис. 6 Отрезок и части отрезка

Построение и измерение отрезка

Произвольный отрезок можно построить двумя способами:

Рис. 7 Построение произвольного отрезка

Измерить отрезок можно:

Сравнить отрезки между собой можно при помощи циркуля или циркуля-измерителя. Для этого нужно сперва поставить иглу на один конец отрезка, а затем вторую иглу или грифельный стержень (если используется обычный чертежный циркуль) совместить со вторым концом отрезка (рисунок 8).

Рис. 8 Сравнение отрезков

На рисунке 8 видно, что:

Длину отрезка измеряют линейкой с делениями или другим измерительным инструментом.

Длина отрезка – это расстояние между концами этого отрезка.

Равные отрезки — это такие отрезки, которые имеют одинаковую длину.

На рисунке 9 измерены длины отрезков предыдущего рисунка. Проверьте, правильно ли мы сравнили эти отрезки при помощи циркуля?

Рис. 9 Измерение длины отрезка

Для этого на плоскости обозначают один конец отрезка (ставят точку), а затем при помощи линейки отмеряют необходимую длину отрезка (к примеру, 9 см), ставят точку второго конца отрезка и соединяют оба конца линией.

Рис. 10 Построение отрезка заданной длины

Отрезок — это самое короткое расстояние между двумя точками.

В этом вы можете убедиться самостоятельно на практике. Возьмите любой твердый длинный предмет, например, линейку, и шнурок. Линейка будет играть роль отрезка, а из шнурка сделайте кривую и ломаную линию, наподобие таких, какие показаны на рисунке 11, и соедините ими два конца линейки. После чего выпрямите шнурок и сравните его длину с длиной линейки.

Рис. 11 Кривая, ломаная, отрезок

Ломаная линия

Ломаная линия – это линия, которая состоит из отрезков, принадлежащих разным прямым, и эти отрезки последовательно соединены друг с другом.

Рис. 12 Ломаная линия

На рисунке 12 видно, что:

Количество звеньев у ломаной линии может быть каким угодно, бесконечным, но самое меньшее – это два звена.

Замкнутая ломаная линия – это такая ломаная, у которой совпадают точки начала и конца, то есть, которая начинается и заканчивается в одной точке.
Разомкнутая (не замкнутая) ломаная линия начинается и заканчивается в разных точках.

Рис. 12. Замкнутая и разомкнутая ломаные линии

Самопересекающаяся ломаная линия – это такая ломаная, у которой есть хотя бы два пересекающихся звена.

Самопересекающимися могут быть как замкнутые, так и разомкнутые ломаные.

Рис. 13. Самопересекающиеся ломаные линии

Источник

Как определить расстояние между двумя точками?

В данной статье рассмотрим способы определить расстояние от точки до точки теоретически и на примере конкретных задач. И для начала введем некоторые определения. Расстояние между точками – это длина отрезка, их соединяющего, в имеющемся масштабе.

Задать масштаб необходимо, чтобы иметь для измерения единицу длины. Потому в основном задача нахождения расстояния между точками решается при использовании их координат на координатной прямой, в координатной плоскости или трехмерном пространстве.

Расстояние от точки до точки: формулы, примеры, решения, формула расстояния между двумя точками

Расстояние между точками на координатной прямой

Исходные данные: координатная прямая Ox и лежащая на ней произвольная точка А. Любой точке прямой присуще одно действительное число: пусть для точки А это будет некое число хA, оно же – координата точки А.

В целом можно говорить о том, что оценка длины некого отрезка происходит в сравнении с отрезком, принятым за единицу длины в заданном масштабе.

Если точке А соответствует целое действительное число, отложив последовательно от точки О до точки по прямой ОА отрезки – единицы длины, мы можем определить длину отрезка OA по итоговому количеству отложенных единичных отрезков.

Если точка A имеет в качестве координаты рациональное число, то от начала отсчета (точка О) мы откладываем целое число единичных отрезков, а затем его необходимую часть. Но геометрически не всегда возможно произвести измерение. К примеру, затруднительным представляется отложить на координатной прямой дробь 4111.

Резюмируя: расстояние от начала отсчета до точки, которой соответствует действительное число на координатной прямой, равно:

При этом очевидно, что сама длина отрезка не может быть отрицательной, поэтому, используя знак модуля, запишем расстояние от точки O до точки A с координатой xA: OA=xA

Верным будет утверждение: расстояние от одной точки до другой будет равно модулю разности координат. Т.е. для точек A и B, лежащих на одной координатной прямой при любом их расположении и имеющих соответственно координаты xA и xB : AB=xB-xA.

Расстояние между точками на плоскости

Исходные данные: точки A и B, лежащие на плоскости в прямоугольной системе координат Oxy с заданными координатами: A(xA, yA) и B(xB, yB). Проведем через точки А и B перпендикуляры к осям координат Ox и Oy и получим в результате точки проекции: Ax, Ay, Bx, By. Исходя из расположения точек А и B далее возможны следующие варианты:

Сформируем вывод из полученного результата: расстояние от точки А до точки В на плоскости определяется расчётом по формуле с использованием координат этих точек: AB=(xB-xA)2+(yB-yA)2

Полученная формула также подтверждает ранее сформированные утверждения для случаев совпадения точек или ситуаций, когда точки лежат на прямых, перпендикулярных осям. Так, для случая совпадения точек A и B будет верно равенство: AB=(xB-xA)2+(yB-yA)2=02+02=0

Для ситуации, когда точки A и B лежат на прямой, перпендикулярной оси абсцисс: AB=(xB-xA)2+(yB-yA)2=02+(yB-yA)2=yB-yA

Для случая, когда точки A и B лежат на прямой, перпендикулярной оси ординат: AB=(xB-xA)2+(yB-yA)2=(xB-xA)2+02=xB-xA

Расстояние между точками в пространстве

Рассмотрим общий случай, когда точки A и B не лежат в плоскости, параллельной одной из координатных плоскостей. Проведем через точки A и B плоскости, перпендикулярные координатным осям, и получим соответствующие точки проекций: Ax, Ay, Az, Bx, By, Bz

Расстояние между точками A и B являет собой диагональ полученного в результате построения параллелепипеда. Согласно построению измерения этого параллелепипеда: AxBx, AyBy и AzBz

Из курса геометрии известно, что квадрат диагонали параллелепипеда равен сумме квадратов его измерений. Исходя из этого утверждения получим равенство: AB2=AxBx2+AyBy2+AzBz2

Используя полученные ранее выводы, запишем следующее: AxBx=xB-xA, AyBy=yB-yA, AzBz=zB-zA

Преобразуем выражение: AB2=AxBx2+AyBy2+AzBz2=xB-xA2+yB-yA2+zB-zA2==(xB-xA)2+(yB-yA)2+zB-zA2

Итоговая формула для определения расстояния между точками в пространстве будет выглядеть следующим образом: AB=xB-xA2+yB-yA2+(zB-zA)2

Полученная формула действительна также для случаев, когда:

Расстояние между точками на координатной плоскости — формулы и расчеты

Аналитическая геометрия — важная ветвь математики, которая позволяет рассчитать любые характеристики расположения объектов в пространстве, например, углы и дистанции.

Формула расстояния между точками на координатной плоскости является основным инструментом, применяемым при решении ряда задач в двумерном пространстве.

Система координат

Прежде чем говорить о расстоянии между точками по координатам, следует ввести систему отчета, в которой каждый геометрический объект можно будет однозначно определять.

Для этой цели часто используют декартову систему координат. Она представляет собой взаимно перпендикулярные прямые, на каждой из которых отмечены единичные отрезки.

Именно в них определяется положение тел в пространстве, на плоскости или на прямой линии. Для названных трех случаев декартова система координат отличается количеством осей:

Единичные отрезки на координатных осях в общем случае могут иметь разную длину. Однако ввиду симметричности пространства и для удобства выполнения практических расчетов применяют, как правило, единичные отрезки равной длины. Каждому из них соответствует единичный вектор.

Понятие о векторе

Чтобы уметь вычислять расстояние от точки до точки по координатам, удобно пользоваться понятием вектора. Из школьного курса геометрии известно, что под ним принято понимать отрезок, имеющий некоторое определенное направление. Обозначают его в виде прямой линии конечной длины, на конце которой изображена стрелка.

Пользу использования указанного геометрического объекта трудно переоценить. Например, в физике все величины делятся на 2 большие группы:

К первым относятся масса, электрический заряд, энергия и другие. Вторая группа более обширная. Здесь следует назвать скорость, ускорение, силу тока, напряженности магнитного и электрического полей, силу любой природы и многие другие.

Характеристики объекта

Как любой геометрический объект, вектор обладает набором математических свойств, которые используются при решении задач. Основные из них:

Для всех свойств существуют определяющие их правила. Например, при осуществлении вычитания вектора a- из b- необходимо соединить концы этих объектов отрезком и направить его к концу a-, тогда получается результирующий вектор разницы.

Умножение a- и b- векторным способом является полезной операцией при определении площадей и объемов фигур. Для ее выполнения следует уметь работать с матрицами второго и третьего порядка, в частности, знать, как рассчитывается детерминант (определитель).

Универсальный способ

Речь идет о координатном представлении нульмерных, одномерных, двумерных и трехмерных геометрических фигур. Параметры точек, треугольников, квадратов, прямых, плоскостей и других более сложных объектов могут быть однозначно выражены в виде наборов чисел, привязанных к соответствующей координатной системе.

Поскольку существует задача определения расстояния от точки до точки по координатам, имеет смысл рассмотреть только указанный одномерный объект и вектор.

Точка на плоскости

Первое число здесь означает количество единичных отрезков, которые необходимо отсечь на оси x, второе значение — на оси y. Точка D лежит в начале координат, то есть на пересечении x и y. В общем случае удобно обозначить произвольную точку Q (x0; y0).

Направленный отрезок в двумерном пространстве

На плоскости координаты направленного отрезка так же, как и точки, представляют собой набор двух чисел. Оба обозначают число отрезков единичной длины, которые следует отложить на каждой оси, чтобы получить проекции вектора на x и y.

На плоскости и в трехмерном пространстве всего 2 точки однозначно определяют направленный отрезок. Если его начало переместить в пересечение осей x и y, его конец легко можно найти, вычитая соответствующие координаты точек друг из друга. Следующий простой пример демонстрирует сказанное.

Даны точки A (x1; y1), B (x2; y2), тогда AB- будет иметь координаты: AB- = B — A = (x2-x1; y2-y1).

Вторая точка показывает место расположения конца AB-.

Формула дистанции

Имея полученные представления и знания о свойствах точек и векторов, можно перейти к вопросу нахождения формулы расстояния. Согласно геометрическому определению, под дистанцией между двумя точками понимают длину отрезка, который их соединяет. Эта величина также равна модулю вектора, построенного на нульмерных объектах.

Длину направленного отрезка на плоскости определить просто: необходимо возвести в квадрат каждую его координату, сложить полученные значения, и взять квадратный корень из результирующей суммы. Для вектора a- (x; y) длина будет равна следующей величине: |a-| = (x 2 + y 2 )^0,5.

Возведение суммы в степень 0,5 эквивалентно взятию из нее квадратного корня. Поскольку определение координат вектора по соответствующим значениям точек известно, можно получить следующую простую формулу для A (x1; y1) и B (x2; y2): |AB-| = ((x2-x1)^2 + (y2-y1)^2)^0,5.

В трехмерном пространстве соответствующее выражение будет иметь подобную форму, только добавится третья координата z.

Расстояние между Q и прямой

Полученные знания можно с легкостью применять для решения разнообразных задач по геометрии. Часто приходится находить дистанцию между точкой и прямой. Определить эту величину можно, если знать направляющий вектор прямой. Предположим, что он имеет следующие координаты: a- (x1; y1). Прямая проходит через A (x2; y2). Точка задается так: Q (x0; y0).

В параметрическом виде прямая записывается следующим образом: (x;y) = (x2;y2) + t*(x1;y1).

Здесь t — параметр, который может принимать любое действительное число. Это выражение позволяет записать равенство (1): (x-x2)/x1 = (y-y2)/y1 (1).

Пусть точка P (x;y) является проекцией Q (x0;y0) на прямую, тогда расстояние PQ является искомой дистанцией, которую следует найти по условию задачи. Поскольку вектора PQ- и a- перпендикулярны друг другу, их скалярное произведение будет равно нулю (угол между векторами равен 90 градусов, его косинус равен нулю). Исходя из этих рассуждений, можно записать выражение (2): (x-x0)*x1 + (y-y0)*y1 = 0 (2).

Поскольку имеющиеся равенства (1) и (2) содержат 2 неизвестные переменные, объединение их в систему и решение ее позволит определить точку P (x;y). Зная ее координаты и используя формулу дистанции между двумя точками на плоскости, можно получить искомое расстояние PQ.

Пример задачи

Чтобы определить направляющий вектор, достаточно взять 2 любые точки на прямой. Подставляя в выражение произвольные значения x, можно определить эти точки A, B и вместе с ними направляющий вектор AB-:

Вектор QP-, который пересекает прямую под прямым углом, должен подчиняться следующему уравнению (свойство скалярного произведения):

В это выражение нужно подставить значение y из уравнения прямой.

Получается:

Рассчитанное значение округлено до сотых долей и выражается в единицах единичных векторов координатной системы.

При решении подобных задач для сокращения последующих вычислений рекомендуется проверять принадлежность точки прямой, для чего следует подставить координаты в уравнение. Если этот факт подтверждается, искомое расстояние равно нулю.

Углы треугольника

Польза от использования формулы дистанции между точками на плоскости наглядно показывается на примере решения задач на нахождение углов фигур. Пусть нужно определить все углы треугольника, который построен на вершинах A (x1;y1), B (x2;y2), C (x3;y3).

На первый взгляд сложная задача решается легко, если вспомнить о понятии векторного произведения. Например, для векторов AB- и AC- записывается оно так:

Произведение [AB-*AC-] является вектором, который находится как детерминант матрицы третьего порядка. Его модуль, а также длины |AB-| и |AC-| вычисляются по формуле расстояния между двумя точками.

Чтобы определить угол при вершине A треугольника, остается взять функцию арксинуса от отношения векторного произведения к произведению длин сторон AB и AC.

Источник

Урок 3

расстояние между двумя точками.

деление отрезка в данном отношении.

Расстояние между двумя точками.

так как Полученный треугольник Прямоугольный, то По теореме Пифагора

Пример 1. найти расстояние между точками а(-2;3) и в(5;4).

решение. исПользуя данную формулу, Получим:&amP;NbSP;

уПражнение. даны точки а(0;0), в(3;-4), с(-3;4). найдите расстояние между точками: а) аи в; б) в и с; в) а и с. (ответ: а) 5, б) 10, в) 5)

доказательство. Площадь треугольника авс, изображенного на рисунке, можно найти так:

выражая Площадь каждой траПеции через координаты точек а, в и с, находим:

S adec =1/2 (ad+ce)*de = 1/2( x 3 – x 1 )( y 3 + y 1 )

S bceF =1/2 (ec+bF)*eF = 1/2 ( x 2 – x 3 )( y 2 + y 3 )

S abFd =1/2 (ad+bF)*dF = 1/2 ( x 2 – x 1 )( y 2 + y 1 )

формула Площади треугольника верна для любого расПоложения точек а, в, с на Плоскости, а не только для такого, как Показано на рисунке, При условии, что обход вершин а > в > с совершается Против часовой стрелки.

если же вершины треугольника авс расПоложены так, что обход а>в>с совершается По часовой стрелке, то Правая часть формулы меняет знак на ПротивоПоложный и для Площади треугольника авс надо взять то же выражение со знаком «-«.

Пример 2. даны точки а(1;1), в(6;4), с(8;2). найти Площадь треугольника авс.

решение. Подставляя координаты точек в формулу для Площади треугольника, Получим:

S abc =1/2 |(6 – 1)(2 –1) – (8 – 1)(4 – 1)| = 1/2 l-16l =8

уПражнение. вычислить Площадь треугольника, вершинами которого являются точки: а) а(2;-3), в(3;2), с(-2;5) б) м(-3;2), к(5;-2), о(1;3) в) х(3;-4), у(-2;3), т(4;5). (ответ: а) 14, б) 12, в) 25).

Деление отрезка в данном отношении.

задача о делении отрезка в данном отношении состоит в том, чтобы По данному отношению Л и данным координатам точек м 1, м 2 найти координаты точки м.

эту задачу Позволяет решить следующая теорема.

Пример 3. даны точки а(-2;3) и в(4;6). отрезок, ограниченный этими точками, разделен в отношении Л =2. найдите координаты точки м(х;у).

решение. Подставим координаты точек и Л =2 в формулы, Получим: х= (-2+2*4) / (1+2)=2; у= (3+2*6) / (1+2)=5. следовательно, координаты точки деления м(2;5).

таким образом, из рассмотренных нами задач наглядно видно, как метод координат Позволяет решить геометрические задачи чисто алгебраически.

на оси ох найдите точку, расстояние которой от точки а(3;4) равно 5. (ответ: (6;0) и (0;0))

точка м является серединой отрезка оа, соединяющего начало координат о с точкой а(-5;2). найдите координаты точки м. (ответ: (-2,5;1))

точка м(2;3) делит отрезок ав в отношении 1:2. найдите координаты точки в, если известно, что точка а имеет координаты (1;2). (ответ: в(4;5))

найдите координаты центра тяжести однородной Пластинки, имеющей форму треугольника с вершинами а(-2;1), в(2;-1), с(4;3).(ответ: х=4 / 3, у=1, указание: центр тяжести треугольника находится в точке Пересечения его медиан, которая делит каждую из медиан в отношении 2:1, считая от вершины)

три вершины Параллелограмма- точки а(3;7), в(2;-3) и с(-1;4). найдите длину высоты, оПущенной из вершины в на сторону ас. (ответ: 7 или 4)

отрезок, ограниченный точками а(1;-3) и в(4;3), разделен на три равные части. оПределите координаты точек деления. (ответ: (2;-1) и (3;1))

оПределите координаты концов отрезка а и в, который точками к(2;2) и м(1;5) разделен на три равные части. (ответ: а(3;-1) и в(0;8))

найдите Площадь Пятиугольника с вершинами о(0;0), а(3;-2), в(5;-1), с(8;4) и е(4;5). (ответ: 29,5)

Источник